Sebuah perusahaan membuat dua macam produk, yaitu A dan B. Setiap unit produk A memerlukan waktu 2 jam pada mesin I dan 4 jam pada mesin II. Setiap unit produk

Jika perusahaan mendapat laba Rp 5.000,00 pada setiap unit A dan Rp 8.000,00 pada setiap unit B maka banyaknya masing-masing unit yang harus diproduksi untuk memaksimalkan total laba adalah...

Jawaban: 18 unit produk A dan 16 unit produk B, agar diperoleh laba maksimal.

Untuk menjawab soal di atas, teman-teman bisa membuka kembali materi Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel. Perhitungan dan penjelasan selengkapnya, dapat teman-teman pelajari pada pembahasan berikut.

Pembahasan

Persamaan Linear Dua Variabel adalah persamaan yang tepat memiliki dua variabel dan masing-masing variabelnya berpangkat satu.  Sedangkan dua buah persamaan linear dengan dua variabel yang hanya mempunyai satu penyelesaian disebut sistem persamaan linear dua variabel.

Pertidaksamaan linear dua variabel merupakan pertidaksamaan yang memuat dua buah pertidaksamaan linear dengan dua variabel yang hanya mempunyai satu penyelesaian.  

Menentukan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel  

Penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel dapat ditentukan dengan 3 cara, yaitu:

• Metode Substitusi.  Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode substitusi dilakukan dengan cara mengganti (mensubstitusi) salah satu variabel dengan variabel lainnya.

• Metode Eliminasi. Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode eliminasi dilakukan dengan cara menghilangkan (mengeliminiasi) salah satu variabel.

• Metode Grafik.  Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode grafik dilakukan dengan cara membuat grafik dari kedua persamaan yang diketahui dalam satu diagram. Koordinat titik potong kedua garis yang telah dibuat merupakan penyelesaian dari sistem persamaan.  

Diketahui:

Produk A memerlukan waktu 2 jam jika diproduksi menggunakan mesin I serta memerlukan waktu 4 jam jika diproduksi menggunakan mesin II.

Produk B memerlukan waktu 4 jam jika diproduksi menggunakan mesin I serta memerlukan waktu 3 jam jika diproduksi menggunakan mesin II.

Laba yang diperoleh dari produk A = Rp 5.000,00.

Laba yang diperoleh dari produk A = Rp 8.000,00.

Waktu yang tersedia per minggu untuk mesin I = 100 jam.

Waktu yang tersedia per minggu untuk mesin II = 120 jam.

Ditanyakan:

Hitunglah banyak masing-masing unit yang harus diproduksi agar laba yang diperoleh bisa maksimal!

Jawab:

Pertama-tama kita akan membuat model matematika untuk soal di atas.

Misal: produk A = x dan roduk B = y

2x + 4y ≤ 100   ....... Persamaan 1)

4x + 3y ≤ 120   ....... Persamaan 2)

x ≥ 0, y ≥ 0.

f (x,y) = 5.000x + 8.000y (fungsi objektif untuk mencari nilai laba maksimal).

Berikutnya akan kita cari titik potong dengan sumbu-x dan sumbu-y untuk tiap pertidaksamaan tersebut.

• 2x + 4y ≤ 100.

x = 0 maka y = 25 (0,25)

y = 0 maka x = 50 (50,0)

• 4x + 3y ≤ 120.

x = 0 maka y = 40 (0,40)

y = 0 maka x = 30 (30,0)

Sehingga akan kita peroleh grafik pertidaksamaan sebagai berikut (gambar terlampir).

Titik potong kedua grafik dapat dicari dengan mencari penyelesaian dari kedua pertidaksamaan linear (menggunakan metode substitusi)

2x + 4y = 100

2x = 100 - 4y

x = [tex]\frac{100 - 4y}{2}[/tex] = 50 - 2y

Substitusikan nilai x ke persamaan 2) sehingga didapatkan

4x + 3y = 120

4 (50 - 2y) + 3y = 120

200 - 8y + 3y = 120

200 - 5y = 120

-5y = 120 - 200 = -80

y = [tex]\frac{-80}{-5}[/tex] = 16

Substitusikan y = 16 ke salah satu persamaan untuk mendapatkan nilai x (misal ke persamaan 1)

2x + 4y = 100

2x + 4(16) = 100

2x + 64 = 100

2x = 100 - 64 = 36

x = [tex]\frac{36}{2}[/tex] = 18

Dari grafik terlihat bahwa koordinat titik yang dapat kita gunakan untuk mencari nilai maksimum dari fungsi objekti (daerah yang diarsir) adalah: (30, 0), (0, 25), dan (18, 16).  Selanjutnya kita substitusikan koordinat titik-titik di atas ke dalam fungsi objektif f(x, y) = 5.000x + 8.000y

• (30, 0) ⇒ f(x, y) = 5.000x + 8.000y = 5.000 (30) + 8.000 (0) = 150.000

• (0, 25) ⇒ f(x, y) = 5.000x + 8.000y = 5.000 (0) + 8.000 (25) = 200.000

• (18, 16) ⇒ f(x, y) = 5.000x + 8.000y = 5.000 (18) + 8.000 (16) = 218.000

Sehinga dapat disimpulkan, banyaknya masing-masing unit yang harus diproduksi untuk memaksimalkan total laba adalah 18 unit produk A dan 16 unut produk B.  

PELAJARI LEBIH LANJUT:

Teman-teman dapat menemukan soal-soal yang sejenis dengan soal di atas, dengan tetap mengakses Brainly.co.id. Banyak sekali soal-soal yang ditanyakan, dan telah mendapatkan jawaban yang detail dan jelas dari kakak-kakak yang telah ahli di bidangnya masing-masing.

Beberapa contoh soal dapat dilihat pada link di bawah ini:

• Sistem pertidaksamaan linear dua variabel: brainly.co.id/tugas/15067729
• Sistem pertidaksamaan linear dua variabel: brainly.co.id/tugas/23935351
• Sistem pertidaksamaan linear dua variabel:brainly.co.id/tugas/340979

DETAIL JAWABAN:

Kelas: VIII

Pelajaran: Matematika

Bab: 4 – Sistem Persamaan Lienar Dua Variabel

Kode: 8.2.4

#AyoBelajar