Seorang konsumen bermaksud mengkonsumsi 2 jenis barang yaitu Roti (R) dan Susu (S). Fungsi utilitas yang dimilikinya adalah U = R^0,4S^0,6 Batas biaya konsumsi

Mata Kuliah : Mikro Ekonomi 1
Semester     : Ganjil
Fakultas       : Ekonomi/Akuntansi
Kata Kunci   : konsumen, konsumsi, barang, fungsi utilitas, batas biaya konsumsi, turunan, fungsi permintaan, kuantitas permintaan, fungsi dua variabel, metode Lagrange, fungsi obyektif, fungsi kendala  

Diketahui
Fungsi utilitas [tex]U=R^{0,4}S^{0,6}[/tex]
Batas biaya konsumsi = $60
Harga sebungkus roti = $2
Harga sekotak susu = $6

Ditanya
(a). Fungsi permintaan roti (R) dan susu (S)
(b). Kuantitas permintaan roti (R) dan susu (S)

Penyelesaian

Siapkan x = banyaknya roti yang dikonsumsi dan y = banyaknya kotak susu yang dikonsumsi.
Harga sebungkus roti [tex]P_R[/tex] = $2
Harga sekotak susu [tex]P_S.y[/tex] = $6

Pada mata kuliah mikroekonomi, persoalan terkait fungsi dua variabel ini diselesaikan dengan menggunakan metode Lagrange yang dapat ditulis sebagai berikut:

L(x, y) = fungsi obyektif + λ.fungsi kendala

Fungsi obyektif [tex]U=R^{0,4}S^{0,6}[/tex] dapat ditulis menjadi [tex]U=x^{0,4}y^{0,6}[/tex] 
Batas biaya konsumsi roti dan susu [tex]B = P_R.x+P_S.y[/tex] menjadi fungsi kendala [tex]B - P_R.x-P_S.y=0[/tex] 

[tex]L(x,y)=x^{0,4}y^{0,6}+ \lambda(B - P_R.x-P_S.y)[/tex]

[tex] \frac{\delta L}{\delta x}=0 [/tex] ⇒ [tex]0,4x^{-0,6}y^{0,6}-\lambda P_R=0[/tex]
[tex]\lambda= \frac{0,4x^{-0,6}y^{0,6}}{P_R} [/tex]... [Persamaan-1] 

[tex] \frac{\delta L}{\delta y}=0 [/tex] ⇒ [tex]0,6x^{0,4}y^{-0,4}-\lambda P_S=0[/tex]
[tex]\lambda= \frac{0,6x^{0,4}y^{-0,4}}{P_S} [/tex] ... [Persamaan-2]

[tex] \frac{\delta L}{\delta \lambda}=0[/tex] ⇒ [tex]B - P_R.x-P_S.y=0[/tex] ... [Persamaan-3]

Dari persamaan-1 dan persamaan-2, λ = λ, sehingga

[tex] \frac{0,4x^{-0,6}y^{0,6}}{P_R} = \frac{0,6x^{0,4}y^{-0,4}}{P_S} [/tex]
[tex] \frac{2y^{0,4}.y^{0,6}}{P_R} = \frac{3x^{0,4}x^{0,6}}{P_S} [/tex]
[tex] \frac{2y}{P_R} = \frac{3x}{P_S} [/tex]
[tex]x = \frac{2y.P_S}{3P_R} [/tex] ... [Persamaan-4]
dan
[tex]y = \frac{3x.P_R}{2P_S} [/tex] ... [Persamaan-5]

Selanjutnya, substitusikan persamaan-3 dan persamaan-4

[tex]B - P_R.( \frac{2y.P_S}{3P_R} )-P_S.y=0[/tex]
[tex]B -( \frac{2P_S}{3})y -P_S.y=0[/tex]
[tex]B = \frac{5P_S}{3}y[/tex]
[tex]y= \frac{3B}{5P_S} [/tex]

Dan substitusikan persamaan-3 dan persamaan-5

[tex]B - P_R.x-P_S.(\frac{3x.P_R}{2P_S} )=0[/tex]
[tex]B - P_R.x-(\frac{3P_R}{2})x =0[/tex]
[tex]B = (\frac{5P_R}{2})x[/tex]
[tex]x= \frac{2B}{5P_R} [/tex]

(a). Jadi dapat disimpulkan bahwa,
⇔ fungsi permintaan roti adalah [tex]x= \frac{2B}{5P_R} [/tex], 
⇔ fungsi permintaan susu adalah [tex]y= \frac{3B}{5P_S} [/tex].

(b). Dari soal diketahui,
⇔ harga sebungkus roti [tex]P_R[/tex] = $2
⇔ harga sekotak susu [tex]P_S.y[/tex] = $6
⇔ batas biaya konsumsi = $60

Jadi, kuantitas permintaan roti adalah 
[tex]x= \frac{2(60)}{5(2)} [/tex]
Sebanyak 12 bungkus roti.

Sedangkan kuantitas permintaan susu adalah
[tex]y= \frac{3(60)}{5(6)} [/tex]
Sebanyak 6 kotak susu.